Die Erforschung (Spezialfälle von) elliptischen Kurven geht auf Diophantos und Fermat zurück und ist auch heute noch eines der lebendigsten Forschungszentren der Zahlentheorie. Dieses Buch, das sich an angehende Doktoranden richtet, führt in die Grundlagentheorie aus einer zeitgenössischen Perspektive ein, aber mit Blick auf den historischen Hintergrund. Der zentrale Teil befasst sich mit Kurven über den Rationalen: dem Mordell-Weil-Satz endlicher Basissätze, Punkten endlicher Ordnung (Nagell-Lutz) usw. Die Behandlung ist von einem lokal-globalen Standpunkt aus strukturiert und gipfelt in der Beschreibung der Tate-Shafarevich-Gruppe als Behinderung eines Hasse-Prinzips. In einem einleitenden Abschnitt wird das Hasse-Prinzip für Kegel behandelt. Das Buch schließt mit Abschnitten über die Theorie über endliche Felder (die 'Riemannsche Hypothese für Funktionsfelder') und neuerdings entwickelten Anwendungen von elliptischen Kurven zur Faktorisierung großer ganzer Zahlen. Die Voraussetzungen werden auf ein Minimum reduziert; Eine Kenntnis der Grundlagen der Galoistheorie wird vorausgesetzt, aber es sind keine Kenntnisse der algebraischen Zahlentheorie oder der algebraischen Geometrie erforderlich. Die p-adischen Zahlen werden von Grund auf neu eingeführt, ebenso wie das Wenige, was für die Galois-Kohomologie benötigt wird. Viele Beispiele und Übungen sind für den Leser enthalten. Für diejenigen, die noch keine Erfahrung mit elliptischen Kurven haben, egal ob es sich um Doktoranden oder Spezialisten aus anderen Bereichen handelt, ist dies ein guter Einführungstext. Sprache: Englisch